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Calcul des trajectoires

Aspects fondamentaux :

Le type de trajectoire du satellite ou de la sonde dépend de la mission à remplir. Pour une altitude donnée, les caractéristiques de l’orbite ne dépendent que du vecteur vitesse initiale du satellite en son lieu d’injection et des coordonnées de ce dernier (le lieu d'injection correspond à l'endroit où le lanceur dépose le satellite sur son orbite).

L’énergie mécanique E d’un satellite en orbite elliptique terrestre est :

   E  = – m.M.G / 2a = ½. mv² – m.M.G / r , (relation 1) avec :

-   m = masse du satellite
-   G = constante de gravitation
-   M = masse de la Terre
v = vitesse du satellite sur l’orbite
-   r = distance satellite–centre Terre
-   2a = longueur du grand axe de l’ellipse

Remarques :

- La simplification possible par m montre l’indépendance de ce paramètre relativement à la vitesse.
- L'énergie E ne dépend que de la longueur 2a du grand axe de l’ellipse.
- Ec = ½ mv² est l’énergie cinétique du satellite
- Ep = – m.M.G / r est l’énergie potentielle du satellite

La relation permet ainsi d’exprimer la valeur de la vitesse v du satellite à la distance r du centre de la Terre. On obtient   
               v² = 2.M.G / r – M.G / a  , (relation 3)      avec M = 5,974.1024 kg  et  G = 6,672.10-11 uSI

 

 Etude de cas :

1) Rester sous l’influence de la gravitation terrestre

Vitesse de satellisation Vs (Vs est également appelée première vitesse cosmique)

Pour satelliser un engin spatial sur une orbite elliptique, il suffit que sa vitesse d’injection ne dépasse pas la vitesse de libération (cf. paragraphe suivant)

Il faut ajouter des contraintes géométriques évidentes liées au volume de la Terre : l’ellipse représentant l’orbite ne doit pas rencontrer la planète (ellipse trop étroite, apogée ou périgée dans le sol ou situés dans l’atmosphère).


Vitesse d’injection pour une orbite circulaire

Lorsque l’on choisit une distance r au centre de la Terre constante, l'énergie potentielle est constante, de même que l'énergie cinétique. 
Bien entendu, la vitesse d'injection doit être choisie orthogonale au rayon vecteur. 

Cette situation correspond à une orbite circulaire et l’on obtient la vitesse d’injection sur cette orbite circulaire :

V² = M.G / r    avec r : rayon de l'orbite circulaire recherchée.
Le vecteur vitesse d'injection devant par ailleurs être orthogonal à la verticale du lieu d’injection.

Numériquement :

A l’altitude de 0 km, on a r = 6 378 000 m
D’où V = 7 905 m.s-1 (irréalisable dans l’atmosphère)

A l’altitude de 800 km (altitude d'un satellite LEO), on a : 
r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m
D’où V = 7 450 m.s-1

A l’altitude de 36000 km (orbite GEO), on a : r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m
D’où V = 3 067 m.s-1


Vitesse d'injection sur une orbite fermée :

soit v vitesse orthogonale à la verticale du lieu d’injection, supposée inférieure à la vitesse de libération et Vsc la vitesse correspondant à la trajectoire circulaire. 
Trois cas se présentent :

- si v < Vsc : le point de largage est l’apogée et v est la vitesse à l’apogée.

- si v = Vsc : l’orbite est un cercle décrit à vitesse v constante. (v=V=constante).

- si v > Vsc : le point de largage est le périgée et v est la vitesse au périgée.

2 ) Quitter la Terre

Vitesse de libération (deuxième vitesse cosmique)

Lorsque l’on choisit "a" infini dans la relation (3), le "satellite" s’est libéré de l’attraction terrestre ; il n’est plus satellisé et il serait plus juste de le rebaptiser sonde spatiale. On obtient ainsi la vitesse de libération pour une distance r au centre de la Terre :

 Vl² = 2.M.G / r

Aucune contrainte ne s’applique sur l’angle d’inclinaison de Vl. 
Toutefois pour des raisons de comparaison, nous choisirons sur le lieu du largage une vitesse d’injection orthogonale à la verticale de ce lieu.

Numériquement

- à l’altitude de 0 km, on a r = 6 378 000 m
D’où Vl = 11 180 m.s-1 (40 250 km.h-1 : irréalisable pour une sonde dans l’atmosphère)

- à l’altitude de 800 km, on a r = 800 000 + 6 378 000 = 7 178 000 m
D’où Vl = 10 539 m.s-1 (37 940 km.h-1)

- à l’altitude de 36000 km, on a r = 36 000 000 + 6 378 000 = 42 378 000 m
D’où Vl = 4 337 m.s-1 (15 613 km.h-1).