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¨¨po `1
`25-¨¨matj`2me1
¨braille intégral 
¨baccalauréat général
¨épreuve d'enseignement de spécialité
¨session `2025
¨mathématiques
¨mercredi
`18 juin `2025
¨durée de l'épreuve: `4 heures ¨l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
¨l'usage de la calculatrice sans mémoire "type collège" est autorisé.
¨dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
¨dans la version originale, le sujet comporte `7 pages numérotées de `1 à `7.
¨dans la version en braille intégral, le sujet comporte `28 pages de texte numérotées de `1 à `28 `! `2 planches tactiles sur papier thermogonflé en fin de volume.
¨le signe numérique est omis dans les planches tactiles.
¨le candidat doit traiter les quatre exercices proposés. ¨le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m2me incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
¨la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. ¨les traces de recherche, m2me incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
¨sommaire
¨exercice `1 `5
¨partie ¨a `6
¨partie ¨b `10 
¨exercice `2 `13
¨partie ¨a `14
¨partie ¨b `16
¨exercice `3 `17
¨exercice `4 `20
¨partie ¨a `21
¨partie ¨b `23
¨partie ¨c `27

¨¨po `2 
¨exercice `1 (`5 points)
¨les deux parties peuvent 2tre traitées indépendamment.
¨dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.
¨les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.
¨partie ¨a
¨le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. ¨on choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.
¨on désigne par `¨a et `¨b les évènements suivants:
9o `¨a: "¨la personne chute pendant la première séance";
9o `¨b: "¨la personne chute pendant la deuxième séance".
¨pour un événement `¨e quelconque, on note `¨p(¨e) sa probabilité et `¸:¨e son événement contraire.
¨des observations permettent d'admettre que `¨p(¨a)`"0,6.
¨de plus on constate que:
9o ¨si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de `0,3;
9o ¨si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de `0,4.
`1. ¨représenter la situation par un arbre pondéré.
`;¨une feuille plastique vierge est à disposition du candidat en fin de volume pour cet exercice.„'
`2. ¨calculer la probabilité `¨p(¸:¨a¤!¸:¨b) et interpréter le résultat.
`3. ¨montrer que `¨p(¨b)`"0,34.
`4. ¨la personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. ¨calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.
`5. ¨on appelle `¨x la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de `100 personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. ¨on assimile le choix d'un échantillon de `100 personnes à un tirage avec remise.
¨on admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de `0,24.
a. ¨montrer que la variable aléatoire `¨x suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b. ¨quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de `100 personnes ayant souscrit à la formule, au moins `20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance?
c. ¨calculer l'espérance `¨e(¨x) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

¨¨po `3
¨partie ¨b
¨on choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. ¨on note `¨t?1 la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et `¨t?2 la variable aléatoire donnant donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.
¨on admet que:
9o `¨t?1 suit une loi de probabilité d'espérance `¨e(¨t?1)"40 et d'écart-type `¤s(¨t?1)"10;
9o `¨t?2 suit une loi de probabilité d'espérance `¨e(¨t?2)"60 et d'écart-type `¤s(¨t?2)"16;
9o les variables aléatoires `¨t?1 et `¨t?2 sont indépendantes.
¨on note `¨t la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès aux activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. ¨ainsi on a `¨t"¨t?1!¨t?2.
`1. ¨déterminer l'espérance `¨e(¨t) de la variable aléatoire `¨t. ¨interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
`2. ¨montrer que la variance `¨v(¨t) de la variable aléatoire `¨t est égale à `356.
`3. ¨à l'aide de l'inégalité de ¨bienaymé-¨tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente `¨t soit strictement compris entre `60 et `140 minutes est supérieure à `0,77.
¨exercice `2 (`5 points)
¨l'espace est muni d'un repère orthonormé `(¨o;¨:i,¨:j,¨:k).
¨on considère:
9o les points `¨a(-1;2;1), `¨b(1;-1;2) et `¨c(1;1;1);
9o la droite `d dont une représentation paramétrique est donnée par:
`d: ¸(`'x"„3/2;!2t
`y"2!t
`z"3-t
avec `t¤1¨¨r;
9o la droite `d' dont une représentation paramétrique est donnée par:
`d': ¸(`x"s
`y"„3/2;!s
`z"3-2s
avec `s¤1¨¨r.
¨partie ¨a
`1. ¨montrer que les droites `d et `d' sont sécantes au point `¨s(-1/2;1;4).
`2. a. ¨montrer que le vecteur `¨:n¤(`1
`2
`4¤)
est un vecteur normal au plan `(¨a¨b¨c).
b. ¨en déduire qu'une équation cartésienne du plan `(¨a¨b¨c) est: `x!2y!4z-7"0
c. ¨démontrer que les points `¨a, `¨b, `¨c et `¨s ne sont pas coplanaires.

¨¨po `4
`3. a. ¨démontrer que le point `¨h(-1;0;2) est le projeté orthogonal de `¨s sur le plan `(¨a¨b¨c).
b. ¨en déduire qu'il n'existe aucun point `¨m du plan `(¨a¨b¨c) tel que `'¨s¨m´2;„@21;/2.
¨partie ¨b
¨on considère un point `¨m appartenant au segment `à¨c¨sù. ¨on a donc `¨:¨c¨m"k¨:¨c¨s avec `k réel de l'intervalle `à0;1ù.
`1. ¨déterminer les coordonnées du point `¨m en fonction de `k.
`2. ¨existe-t-il un point `¨m sur le segment `à¨c¨sù tel que le triangle `¨m¨a¨b soit rectangle en `¨m?
¨exercice `3 (`4 points)
¨pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. ¨justifier chaque réponse. ¨une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
`1. ¨la suite `(u?n) est définie pour tout entier naturel `n par: `'u?n"„1!5^n;/„2!3^n;.
¨affirmation `1: ¨la suite `(u?n) converge vers `5/3.
`2. ¨on considère la suite `(w?n) définie par: `w?0"0 et, pour tout entier naturel `n, `'w?„n!1;"3w?n-2n!3.
¨affirmation `2: ¨pour tout entier naturel `n, `w?n¤@n.
`3. ¨on considère la fonction `f définie sur `)b`0;`!¤c¤( dont la courbe représentative `¨c?f est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (¨fig. `1) en `;planche tactile n´o `1„'. ¨on précise que:
9o `¨t est la tangente à `¨c?f au point `¨a d'abscisse `8;
9o ¨l'axe des abscisses est la tangente horizontale à `¨c?f au point d'abscisse `1.
¨¨po `5
¨fig.`1
`;¨voir planche tactile n´o `1„'
¨affirmation `3: ¨d'après le graphique, la fonction `f est convexe sur son ensemble de définition.
4. ¨affirmation `4: ¨pour tout réel `x´@0, `ln(x)-x!1¤20, où `ln désigne la fonction logarithme népérien.
¨exercice `4 (`6 points)
¨l'objet de cet exercice est l'étude de l'arr2t d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.
¨on note `t le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.
¨on modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de `t, à l'aide d'une fonction notée `d définie sur `¤(`0;`!¤c¤(.
¨on a ainsi `d(0)"0.
¨par ailleurs, on admet que cette fonction `d est dérivable sur son ensemble de définition. ¨on note `d' sa fonction dérivée.
¨partie ¨a
¨sur la figure (¨fig. `2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé:
9o la courbe représentative `¨c?d de la fonction `d;
9o la tangente `¨t à la courbe `¨c?d au point `¨a d'abscisse `4,7;
9o l'asymptote `¨¤d à `¨c?d en `!¤c.
¨¨po `6
¨fig. `2
`;¨voir planche tactile n´o `2„' 
¨dans cette partie, aucune justification n'est attendue.
¨avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions page braille suivante.
¨d'après ce modèle:
`1. ¨au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru `15 m dans la zone de freinage?
`2. ¨quelle longueur minimale doit-2tre prévue pour la zone de freinage?
`3. ¨que vaut `d'(4,7)? ¨interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
¨partie ¨b
¨on rappelle que `t désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.
¨on modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde (`m*s^-1), en fonction de `t, par une fonction `v définie sur `¤(`0;`!¤c¤(.
¨on admet que:
9o la fonction `v est dérivable sur son ensemble de définition, et on note `v' sa fonction dérivée;
9o la fonction `v est une solution de l'équation différentielle `(¨e): `'y'!0,6y"e^„-0,6t;,
où `y est une fonction inconnue et où `y' est la fonction dérivée de `y.
¨¨po `7
¨on précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à `12 `m*s^-1, c'est-à-dire `v(0)"12.
`1.
a. ¨on considère l'équation différentielle `(¨e'): `y'!0,6y"0.
¨déterminer les solutions de l'équation différentielle `(¨e') sur `à0;!¤cà.
b. ¨soit `g la fonction définie sur `¤(`0;`!¤c¤( par `'g(t)"te^„-0,6t;.
¨vérifier que la fonction `g est une solution de l'équation différentielle `(¨e).
c. ¨en déduire les solutions de l'équation différentielle `(¨e) sur `¤(`0;`!¤c¤(.
d. ¨en déduire que pour tout réel `t appartenant à l'intervalle `¤(`0;`!¤c¤(, on a: `'v(t)"(12!t)e^„-0,6t;. 
`2. ¨dans cette question, on étudie la fonction `v sur `¤(`0;`!¤c¤(.
a. ¨montrer que pour tout réel `t¤1à0;!¤cà, `'v'(t)"(-6,2-0,6t)e^„-0,6t;.
b. ¨en admettant que: `'v(t) "12e^„-0,6t;´!„1/0,6;*„0,6t/e^ „0,6t;;, déterminer la limite de `v en `!¤c.
c. ¨étudier le sens de variation de la fonction `v et dresser son tableau de variation complet. ¨justifier.
d. ¨montrer que l'équation `v(t)"1 admet une solution unique `¤a, dont on donnera une valeur approchée au dixième.
`3. ¨lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à `1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arr2t complet. ¨déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. ¨justifier.
¨partie ¨c
¨on rappelle que pour tout réel `t appartenant à l'intervalle `¤(`0;`!¤c¤(: `'v(t)"(12!t)e^„-0,6t;.
¨on admet que pour tout réel `t dans l'intervalle `¤(`0;`!¤c¤(: `d(t)"ç?0^tv(x)dx
`1. ¨à l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants `0 et `t est donnée par:
`'d(t)"e^„-0,6t;(-5/3t-205/9)! 205/9.
`2. ¨on rappelle que le dispositif d'arr2t se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à `1 mètre par seconde. ¨déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.

