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Troisième loi de Kepler

 

Voici un tableau que Kepler aurait pu faire pour consigner les résultats des observations de Tycho Brahé et de ses calculs.


Pour les planètes du système solaire :

planète

a
demi grand axe
en 103 km
ou 106 m

T
période de révolution
en jour

T
période de révolution
en 106 s

T2/a3
en jour2.km-3

T2/a3
en s2.m-3

Mercure

57910

87,97

7,57984708

3,98482.10-11

2,95842.10-19

Vénus

108200

224,7

19,3610508

3,98588.10-11

2,95921.10-19

Terre

149600

365,26

31,47226264

3,98483.10-11

2,95843.10-19

Mars

227940

686,98

59,19294472

3,98498.10-11

2,95855.10-19

Jupiter

778330

4332,71

373,3236244

3,98133.10-11

2,95583.10-19



Pour les satellites de Jupiter observés par Galilée :

satellite

a
demi grand axe
en 103 km
ou 106 m

T
période de révolution
en jour

T
période de révolution
en 106 s

T2/a3
en jour2.km-3

T2/a3
en s2.m-3

Io

422

1,77

0,15251028

4,16878.10-8

3,095.10-16

Europe

671

3,55

0,3058822

4,17147.10-8

3,097.10-16

Ganymède

1070

7,15

0,6160726

4,17312.10-8

3,09822.10-16

Callisto

1883

16,69

1,43807716

4,17217.10-8

3,09751.10-16

On observe bien que T2/a3 est une constante mais que cette constante dépend de l’astre attracteur.

On a T2/a3 = 4p ²/GM, où G est la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2

En prenant en compte les résultas des tableaux ci-dessus, il est donc possible de déterminer la masse des astres. On trouve par exemple :

  •   pour le Soleil  :MS = 2,00.1030 kg
  •   pour Jupiter  :MJ = 1,91.1027 kg

Les lois de Kepler s’appliquent aussi bien aux satellites naturels qu’aux satellites artificiels d’un astre.

Pour quelques satellites de la Terre :

satellite

a
demi grand axe
en 103 km
ou 106 m

T
période de révolution

T
période de révolution
en  s

T2/a3
en s2.m-3

Lune

384

27,32 jours

2,35.106

9,78632.10-14

Hipparcos

24,546

10h37min 57s

38277

9,9068.10-14

NOAA 15

7,19

1h41min09s

6069

9,90941.10-14

GPS BII-01

26,5625

11h58min08s

43088

9,90617.10-14

Globalstar MO48

7,79

1h54min4s

6844

9,90849.10-14

En utilisant la constante trouvée pour les satellites artificiels (quatre dernières lignes du tableau) on obtient comme masse de la terre MT = 5,97.1024 kg

La constante obtenue avec la Lune est légèrement différente. Newton a déjà corrigé la troisième loi de Kepler en montrant que la masse qui intervenait était en fait la somme des masses des deux corps en interaction gravitationnelle (ici la Terre et la Lune).

En se servant de la correction de Newton on trouve MTerre + Lune = 6,05.1024 kg et par différence la masse de la Lune est ML = 7,36.1022 kg.

En fait, la troisième loi n’est qu' approchée et les bons résultats obtenus par Kepler sont dus au fait que la masse des planètes est négligeable devant celle du Soleil (Jupiter, la plus grosse planète a une masse qui ne dépasse pas le millième de celle du Soleil).