Séminaire 2010-2011

Les TICE dans les préambules des programmes

Ils insistent sur l’utilisation de logiciels comme outils de visualisation, de simulation, de calcul (formel et scientifique), notamment pour favoriser la pratique d’une démarche d’investigation.

Les activités proposées aux élèves doivent également les entraîner à mettre en œuvre des algorithmes.

En ce qui concerne l’évaluation, les modes d’évaluation prennent également des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l’aptitude à mobiliser l’outil informatique dans le cadre de la résolution de problèmes est à évaluer.

Dans le programme de Première S

Des recommandations fortes

• Limiter l'excès de technicité et valoriser la résolution de problèmes
• Soutenir l'utilisation de logiciels, outils de visualisation et de simulation, de calcul formel ou scientifique
• Pointer des démonstrations ayant valeur de modèles
• Développer la pratique de démarches algorithmiques

Des utilisations de logiciels et algorithmes signalés

• En analyse : le cas des suites: mettre en oeuvre des algorithmes permettant d'obtenir une liste de termes d'une suite, de calculer un terme d'un rang donné.

L'utilisation d'un tableur et la mise en oeuvre d'algorithmes sont l'occasion d'étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence. On peut utiliser un algorithme pour traiter des problèmes de comparaison d'évolutions et de seuils.

• En probabilités statistique

On peut simuler la loi géométrique tronquée, la loi binomiale avec un algorithme. En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiqement la loi binomiale.

L'intervalle de fluctuation peut être déterminé à l'aide d'un tableur ou d'un algorithme.

En Première STI2D-STL

Les notions abordées sont sensiblement les mêmes qu'en série S, mais les capacités attendues sont de nature différente. On y trouve quelques contenus spécifiques, comme les complexes, les fonctions circulaires.

Le programme est commun aux différentes spécialités de STI2D et de STL. C'est au niveau du choix des situations étudiées qu'une diversité s'impose en fonction de chaque spécialité et de ses finalités propres.

Les enseignants de mathématiques doivent avoir régulièrement accès aux laboratoires afin de favoriser l'établissement de liens forts entre la formation mathématique et les formations dispensées dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cet accès permet de prendre appui sur les situations  expérimentales rencontrées dans ces enseignements, connaître les logiciels utilisés et l'exploitation qui peut en être faite pour illustrer les concepts mathématiques, prendre en compte les besoins mathématiques des autres disciplines.

En lycée professionnel

En lycée professionnel, la démarche d'investigation avec les TICE est clairement inscrite dans les programmes. Au bac professionnel,  les capacités  "Expérimenter, simuler, émettre des conjectures, contrôler la vraisemblance de ces conjectures" sont obligatoirement évaluées dans le cadre d'une démarche d'investigation en contrôle en cours de formation. Ces capacités sont également prises en compte au CAPLP.

TICE aux concours de recrutement

Tous les concours de recrutement comportent une épreuve intégrant l'usage des TICE :

• Au CAPES externe et au CAPLP : épreuve sur dossier
• Agrégation interne : épreuve d'exemples et exercices
• Agrégation externe : épreuve de modélisation

• Faciliter l'accès à des ressources numériques de qualité
• Former et accompagner les enseignants dans les établissements scolaires
• Généraliser les services numériques et les espaces numériques de travail
• Réaffirmer le partenariat avec les collectivités locales
• Former les élèves à l'usage des technologies de l'information et de la communication

Consulter le dossier présenté lors de la conférence de presse du ministre

Une évolution des sites du ministère

 Une intégration des sites Eduscol et Éducnet est prévue, ainsi que la mise en place de portails pour chaque discipline, afin de  permettre aux enseignants d'accéder plus directement aux informations et ressources dont ils ont besoin.

Une évolution des Édu'Bases

La recherche des activités et ressources sur les sites académiques a évolué. Elle peut s'effectuer par une recherche par mots clés ou par critères prédéfinis, et peut ensuite être affinée. L'utilisateur peut se construire des flux RSS spécifiques (par niveau, thème...), qui peuvent être utilisés sur les sites académiques également.

Une analyse systématique des fiches de Seconde et Première est actuellement effectuée, afin de vérifier la conformité de ces fiches avec les nouveaux programmes. Les académies auront ensuite à charge de modifier l'indexation de ces fiches.

Par ailleurs, une étude pour établir des équivalences entre les indexations effectuées dans la base et le standard ScoLOMFR est en cours : ce standard d'indexation doit permettre de mutualiser des ressources pédagogiques venant  de sources différentes afin de les mettre à disposition des enseignants à travers un moteur de recherche, par exemple pour effectuer des recherches sur des thèmes transversaux à plusieurs disciplines à travers les différentes bases.

Accéder à  la description du projet Scolom.fr

Commencée en 2009-2010 en Sixième, cette expérimentation se poursuit en 2010-2011 en Cinquième.

L'évaluation effectuée à l'issue de la première année a fourni des indications sur :

• les équipements mis en oeuvre,
• les manuels numériques utilisés lors de cette première année d'expérimentation,
• la fréquence d'utilisation de ces manuels,
• les différentes situations d'usage,
• les pratiques des enseignants,
• l'atteinte des objectifs de l'expérimentation.

Accéder au dossier complet sur l'expérimentation "Manuels numériques via l'ENT"

En 2009-2010, il s'agissait d'explorer différents usages pédagogiques en mathématiques de services (éventuellement isolés) des ENT : recensement, puis bilan (intérêt mathématique, faisabilité, questions restant en suspens...).

Les usages, comme le cahier de textes numérique (passage du cahier de texte "numérisé" au cahier de textes numérique), la mise en place de "copies numériques", des travaux collaboratifs ont été mis en valeur. La mise à disposition de ressources pour les élèves, qui est un des premiers atouts soulignés par les expérimentations menées antérieurement, nécessite un travail d'équipe important. La résolution collaborative de problèmes par l'intermédiaire d'un forum a fait l'objet de plusieiurs expérimentations, qui ont abouti au constat que la gestion de telles situations n'étant pas évidente (motivation des élèves, avancement de la réflexion...),  ce n'était pas un usage facilement adoptable par les enseignants.

Accéder à la lettre TIC'Édu présentant des exemples sur les usages pédagogiques des ENT en mathématiques

Accéder au suivi national des travaux en 2009-2010  et aux travaux des groupes académiques en 2009-2010

En 2010-2011,il s'agit d'approfondir la réflexion à travers un usage intégré de l'ENT (Espace Numérique de Travail) en mathématiques. L'usage intégré de l'ENT sera décrit et analysé par les enseignants au travers d'un carnet de bord. Certaines académies vont également interroger les élèves sur leurs usages. Par ailleurs un certain nombre de questions comme la répartition entre travail en classe et hors-classe, avec des éléments concernant le temps, le choix des activités donnant lieu à des copies numériques et leur mode d'évaluation sont à l'étude cette année.

Accéder au cahier des charges du groupe

Accéder au suivi national des travaux en 2010-2011 et aux travaux des groupes académiques en 2010-2011

Cette action regroupe des enseignants de Mathématiques, sciences de la vie et de la terre, sciences physiques et chimiques, sciences et techniques industrielles de 6 académies : Aix-Marseille, Créteil, Lille, Limoges, Nancy-Metz, Rennes.

Elle a pour objectif d'étudier comment les TICE peuvent contribuer à l’interdisciplinarité, amener des situations motivantes et contribuer à l’acquisition de compétences variées, tout en facilitant la tâche des professeurs et des élèves au sein de l’enseignement d’exploration MPS.

Les axes de réflexion proposés sont les suivants : communication, évaluation, orientation, ressources, usages de logiciels (nortamment en analysant les possibilités qu'ils peuvent éventuellement ouvrir à un travail pluridisciplinaire), organisation, gestion, suivi, collecte et mise en valeur de données.

Les académies pourront également  proposer des enrichissements, sur le plan des TICE, des scénarios présentés sur Éduscol.

• de découvrir des aspects de leur région, d'autres pays, qu'ils ignoraient.
• de partager leurs connaissances mathématiques, didactiques, et logicielles.
• de progresser en conversation anglaise et d’enrichir leur vocabulaire mathématique dans cette langue.
•  d’apprendre de nouvelles notions en géométrie et sur les coniques, tout en étant stimulés dans leur apprentissage. Ils ont acquis de l'autonomie en informatique et élargi le champ des logiciels connus.

On peut retrouver une partie des travaux  réalisés au cours de ce projet sur le site de eTwinning : new-twinspace.etwinning.net/web/p23720/welcome

Sommaire

Présentation des dispositifs

Des évaluations construites autour du concept de compétences

Analyse des réponses

Des questions plus spécifiques à chacune des évaluations

Des exemples de description de la population issus de ces deux évaluations

Des questionnaires de contexte complémentaires

Présentation des dispositifs

 Les évaluations CEDRE 2008 et PISA 2009 font partie des dispositifs conduits par la DEPP pour informer sur les acquis des élèves français dans une perspective de fin de scolarité obligatoire.

Différentes dans leurs finalités, elles proposent des résultats complémentaires :

• PISA, à portée internationale, porte sur la « culture mathématique » définie comme « l’aptitude d’un individu à identifier et comprendre le rôle des mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques en fonction des exigences de sa vie, en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi. ».

Une description complète du cadre de PISA peut-être trouvée dans « PISA 2009 Assessment Framework – Key Competencies in Reading, Mathematics and Science – OECD »
 

• CEDRE, à portée nationale, s’intéresse à ce que les élèves ont assimilé tant sur un plan de connaissances que de compétences relativement aux programmes qui définissent le cadre des enseignements qu’ils ont reçus, ainsi qu’aux différentes modalités de conceptualisation chez l’élève telles qu’elles sont décrites dans les travaux de la recherche.

Toutes deux s’appuient sur des principes méthodologiques communs :

• évaluation d’une population à partir d’un échantillon représentatif de plus de 4300 élèves.
• cycles d’évaluations.
• traitement statistique conduisant à un modèle de réponse à l’item qui permet ensuite la description de la population par des « échelles de compétences ».
• utilisation de « cahiers tournants », qui augmente le nombre d’items, en ne confrontant pas chaque élève à l’ensemble des items, ce qui tend aussi à limiter les effets de fatigue et d’entraînement.
• items cognitifs, affectifs et conatifs, qui nécessitent une réponse courte rédigée, qui sont dictés à partir d’un CD (pour CEDRE) ou qui se présentent sous la forme d’un QCM

Des exemples d’items PISA libérés peuvent être trouvés dans « PISA RELEASED ITEMS – MATHEMATICS – December 2006 – OECD ».

• protocoles de passation standardisés.

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Des évaluations construites autour du concept de compétence

A sa façon, chacune de ces deux évaluations se construit autour de l’idée de compétence. Parfois vécu comme une nouveauté, ce concept est pourtant relativement ancien, en tant qu’il constitue une tentative de réponse à des écueils souvent constatés :

• connaissances maîtrisées par les élèves en salle de classe, mais inopérantes en dehors de la salle de classe.
• fragmentation des apprentissages qui ne s’articulent pas dans une cohérence d’ensemble, à l’image du nécessaire découpage des enseignements en séances distinctes et organisées dans le temps.
• alors que les acquis des élèves se manifestent de manières variées et riches, informations sur l’état de ces acquis communiquées sous la forme, réduite et porteuse de nombreux implicites, de simples notes à des destinataires multiples et différents (Élèves, familles, enseignants, établissements scolaires, etc.).
• difficultés à mobiliser les connaissances lorsque la tâche présente une certaine nouveauté.

Beaucoup des manifestations de la compétence se trouvent dans la négative des propositions précédentes. Ainsi, forgée dans la rencontre à une diversité de situations, (non artificiellement) contextualisées ou intra-mathématiques, la compétence se distingue par la mobilisation d’un ensemble de ressources diversifiées (personnelles ou non) pour la résolution de problèmes qui présentent une certaine complexité (Ce terme étant utilisé ici dans une acception qui en écarte partiellement l’idée de difficulté.).

En situation d’évaluation, des écarts entre la compétence visée par les enseignements et celle effectivement mise en jeu dans le test, soumis à des contraintes de conception, peuvent être constatés. C’est la raison pour laquelle les modalités d’évaluation de la compétence méritent d’être explicitées dès sa définition, au même titre que les fondements épistémologiques sous-jacents.

Des informations plus complètes sur le concept de compétence peuvent être trouvées :

• dans le rapport « Les livrets de compétences : nouveaux outils pour l'évaluation des acquis - Rapport IGEN - Alain Houchot, Florence Robine - Juin 2007 ».
• dans l’article « Les compétences, Bravo! Mais encore? Réflexions critiques pour avancer – Gérard Vergnaud »

PISA et CEDRE sont des outils qui apportent de riches éclairages. Pourtant ils ne sont pas exhaustifs dans ce qu’ils donnent à voir. Ainsi ils passent à côté de lieux fondamentaux où la compétence mérite pourtant d’être attestée :

• dans une prestation orale devant un groupe ou lors d’un échange avec un interlocuteur.
• dans une situation de travail en groupe.
• lors de la rédaction d’une narration de recherche (Affiche ou texte) ou d’un écrit de synthèse.
• dans des réussites répétées à des moments éloignés dans le temps.
• dans des situations où l’élève dispose de temps pour se poser et agir.

En outre, les contraintes de mise en œuvre de l’évaluation ne permettent pas de mettre les élèves en situation :

• de faire pleinement des recherches documentaires.
• d’utiliser de manière coordonnée plusieurs outils informatiques.

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Analyse des réponses

Après les passations dans les établissements et une fois les cahiers revenus, l’ensemble des réponses des élèves sont codées de manière binaire par des équipes d’experts qui décident au cas par cas de considérer s’il y a réussite ou échec.

Les données issues ce travail de codage sont ensuite traitées statistiquement pour donner un modèle de réponse à l’item, qui attribue sur une échelle numérique commune et simultanément :

• un niveau de compétence à chaque élève
• un degré de difficulté à chaque item.

Un découpage de l’échelle numérique en quelques grands intervalles de valeurs permet de définir plusieurs groupes d’élèves et d’associer des ensembles d’items à ces groupes.

Certains items ne sont pas réussis par l’ensemble des élèves qui ont les plus élevés des niveaux de compétence, ils ne peuvent alors être associés à aucun groupe et sont qualifiés de « hors-échelle ».

L’analyse des connaissances et compétences en jeu dans les ensembles d’items qui caractérisent chacun de ces groupes permet alors de rendre compte des acquis des élèves.

Deux questions clés portent cette analyse :

• quels sont les points communs entre les items qu’un groupe est le premier à réussir ?
• quelles sont les différences entre des items réussis différemment par deux groupes ?

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Des questions plus spécifiques sont posées pour chacune des deux évaluations

Ainsi quelques-unes des questions fondamentales et générales posées dans le CEDRE étaient :

• les élèves sont-ils en mesure de résoudre un large répertoire de problèmes dans un grand nombre de contextes (Situation de la vie quotidienne, autre discipline que les mathématiques…) ?
• les élèves ont-ils développé leur capacité à raisonner ? Savent-ils démontrer ? Utilisent-ils des contre-exemples correctement et à bon escient ? Contrôlent-ils leurs résultats ?
• pour le champ « Nombres et calculs », comment se situent-ils dans leur conceptualisation des nombres et de leurs représentations ? maîtrisent/articulent-ils efficacement calcul exact et calcul approché ? Sont-ils capable de calculer mentalement ? Par écrit ? Avec un instrument ?
• pour le champ « Organisation et gestion de données – Fonctions », traitent-ils intelligemment des données ? Maîtrisent-ils les fonctionnalités de base des tableurs ? Sont-ils sensibilisés au concept de fonction ?
• pour le champ « Grandeurs et mesures », distinguent-ils aire et périmètre ? Ont-ils des acquis sur les grandeurs usuelles (Volume ? Durée ? Etc.) ? Choisissent-ils des unités de manière pertinente ? Convertissent-ils entre unités d’une même grandeur ?
• pour le champ « Géométrie », savent-ils construire des figures ? Maîtrisent-ils les instruments (Règles, équerre, compas, rapporteur) ? Connaissent-ils le large éventail de propriétés et de définitions du collège ? Sont-ils en situation de réussite aussi bien en géométrie plane qu’en géométrie de l’espace ? Utilisent-ils sans erreur un repère du plan ?

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Des exemples de description de la population issus de ces évaluations

Un exemple de description, sur le plan cognitif, de la population issue du CEDRE peut être proposé, dans le champ « Géométrie » sur le thème du raisonnement. L’observation des items réussis par les différents groupes étaye l’hypothèse d’un continuum de compétences qualitativement croissant :

• les élèves des groupes 0 (2,8 % de la population) et 1 (12,2 % de la population) entretiennent un rapport perceptif et/ou instrumenté à la géométrie. Pour eux, les choses sont vraies parce qu’elles se voient ou parce qu’elles peuvent être attestées par un instrument.
• les élèves du groupe 3 (27,7 % de la population) réussissent des raisonnements à une étape pour répondre à un QCM.
• les élèves du groupe 4 (18 % de la population) conduisent des raisonnements à deux étapes, sur des figures relativement complexes, pour répondre à un QCM.
• les élèves du groupe 5 (10 % de la population) sont en situation de réussite sur des items qui nécessitent la rédaction d’une démonstration, ainsi que de nombreux pas déductifs.

Deux descriptions plus complètes des groupes du CEDRE sont accessibles en ligne :

• dans la publication « Repères et références statistiques sur les enseignements, la formation et la recherche 2010», pages 268 et 269.
• dans la « Note d’information – DEPP – N°10-18 », pages 3 et 4.

Des descriptions des groupes de PISA sont accessibles en ligne :

• dans le dossier « L'évaluation internationale PISA 2003 : compétences des élèves français en mathématiques, compréhension de l'écrit et sciences », page 40.
• dans la « Note d’évaluation – DEPP – N°04-12 »
   

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Des questionnaires de contexte complémentaires

Les questionnaires de contexte élèves (Items affectifs et conatifs) sont accompagnés de questionnaires à destination des enseignants et des chefs d’établissement.

Ensemble ils apportent des éclairages riches et complémentaires aux résultats cognitifs.

Trois exemples de renseignements issus des questionnaires du CEDRE peuvent être proposés sur le thème des TICE :

• alors que 23,1 % des élèves déclarent avoir utilisé un tableur « à quelques cours », ils sont environ 68,4 % à déclarer n’avoir « jamais ou presque jamais » utilisé un tableur au cours de leur année de troisième.
• les modalités d’utilisation de la calculatrice évoluent au cours des années du collège. Alors que 26,4 % des enseignants déclarent ne jamais utiliser la calculatrice en 6ème, aucun enseignant a déclaré « ne pas l’avoir utilisé en 3ème ».
  Parallèlement, le taux d’enseignants déclarant « laisser leurs élèves utiliser leur calculatrice quand ils le souhaitent » passe de 1,9 % en classe de 6ème à 54,6 % en classe de 3ème.

• 36,2 % des enseignants déclarent utiliser une salle informatique « environ 1 fois par semaine », « environ 1 fois par quinzaine », « environ 1 fois par mois » ou « sur plusieurs séances de suite sur un thème donné » en classe de 6ème. Pour les classes de 5ème, 4ème et 3ème, les chiffres sont respectivement de 30,5 %, 32,6 % et 29,9 % des enseignants.

Plus que jamais, les besoins de maîtrise des TICE se font ressentir « au quotidien ». Dans leur ensemble, les résultats du CEDRE laissent apparaître des taux relativement bas de mise en œuvre des TICE dans les salles de classes. Dans ce domaine, l’actualité des réflexions sur les compétences contribue à interroger utilement le fonctionnement de l’institution scolaire, ainsi que son efficacité. Ce questionnement permet d’envisager des perspectives pour une évolution.
 

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Depuis 3 ans, un groupe d’enseignants réfléchit à une évaluation par compétences en mathématique permettant d'évaluer les acquis des élèves et de clarifier les exigences à la fois en troisième et en seconde. Cette réflexion a donné naissance à une interface en ligne avec plusieurs fonctionnalités.

Côté enseignant, il y a la possibilité  :

• de créer des fiches de travail personnalisées depuis une banque d'exercices,
• de renseigner à tout moment les capacités qui ont été évaluées,
• d'extraire des synthèses des capacités acquises sur une notion précise,
• de faire travailler avec un exerciseur sur des points particuliers du programme...

Les élèves ont accès  :

• à l’avancement de leurs validations,
• à des exercices interactifs dans des séances libres ou programmées par l'enseignant,
• à des synthèses de leurs résultats...

Depuis Janvier 2011 cette plateforme est ouverte à tous.

Accéder à la plate-forme Math'O lycée

Pour découvrir ses fonctionnalités, cliquer sur l'oeil en bas à droite de l'écran, ce qui vous permettra en particulier de télécharger un diaporama de présentation (fichier pdf) , avoir une approche de l'accès côté professeur, de l'accès côté élève

Après avoir exploré les possibilités offertes par le langage de programmation Python pour mettre en œuvre les aspects algorithmiques des programmes de mathématiques en lycée, un groupe de l'académie d'Amiens a contribué à en faciliter l'utilisation par les enseignants et les élèves en classe, en proposant :

• une distribution portable de ce logiciel, avec une interface traduite en français et des fonctionnalités d'aide (par exemple des info-bulles sur la syntaxe des instructions),
• un document  proposant des exemples d'algorithmes réalisables en classe avec les instructions de base.

Accéder aux informations et téléchargement du langage Amiens Python et de la documentation sur le site de l'académie d'Amiens 

L'académie d'Aix-Marseille a mis en place un dispositif qui a pour objectifs :

• d’accompagner les enseignants impliqués dans des expérimentations, comme les e-classes (7 collèges des Bouches du Rhône)et manuels numériques (27 collèges des Bouches du Rhône), la balladodiffusion en langues vivantes (23 enseignants)
• de suivre des dispositifs tels que l’accompagnement personnalisé et les usages de correlyce en lycée.

 Il repose sur les principes

• d’ échanges entre pairs autour des usages du numérique,
• d’une mutualisation et une diffusion des bonnes pratiques.

Un professeur accompagnateur :

• prend contact avec le collègue accompagné ;
• peut faire une première rencontre pour aider à la mise en place
• se met d’accord avec lui sur les conditions d’observation (date, lieu, classe observée, type de séance, etc.) ;
• suit la séance ;
• prévoit un temps d’échanges et d’analyse
   

Ces observateurs sont, pour les enseignants accompagnés, des collègues

• qui ont des pratiques reconnues ;
• qui sont prêts à les partager ;
• qui observent une séance avec un œil extérieur ;
• avec qui on peut échanger d’égal à égal.

Une grille d'observation commune a été mise en place. Les enseignants accompagnateurs ont également pour mission de contribuer à l’évaluation qualitative de l’usage d’outils numériques en classe .

Le programme de Première indique :

« En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale. »
« On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. »
 

Démarche proposée

Partir d’une situation classique de lancer de pièce pour introduire un nouveau questionnement lié à la répétition de l’expérience.

• Une activité algorithmique progressive qui fait apparaître les paramètres et les invariants d’une nouvelle loi.
• Un travail sur des arbres pour un petit nombre de répétitions :
  • qui valide les probabilités conjecturées par simulation.
  • qui permet de mettre en place les coefficients binomiaux comme nombres de chemins.
• Utilisation d’un outil TICE pour calculer les probabilités de la loi binomiale et comparaison avec les résultats obtenus par simulation.
• Reconnaissance de situations relevant de la loi binomiale et mise en évidence des paramètres.
   

Activité algorithmique 

On lance plusieurs fois une pièce et on s’intéresse à la probabilité d’obtenir un nombre donné de « Pile ».

• Créer un premier programme nommé « lancer() » simulant 25 lancers d’une pièce bien équilibrée et retournant le nombre de « Pile ».
• Créer un deuxième programme nommé « repete_lancers() » appelant le programme précédent et calculant le nombre de fois où l’on obtient 10 « Pile » lors de 100 simulations des 25 lancers ainsi que la fréquence d’obtention de 10 « Pile ».
• Exécuter plusieurs fois ce programme.
• Peut-on conjecturer la probabilité d’obtenir 10 « Pile » sur 25 lancers ?
• Recommencer avec 10 000 simulations et conjecturer la probabilité d’obtenir 10 « Pile » sur 25 lancers.

Etape 2 : on cherche à conjecturer par simulation la probabilité d'obtenir k "Pile" lors de 25 lancers.

• Sur 25 lancers a-t-on plus de chances d’obtenir 20 « Pile » que 10 « Pile » ?
• Quel est le nombre de « Pile » que l’on a le plus de chances d’obtenir sur 25 lancers ?
• On veut pouvoir faire afficher simultanément les fréquences d’obtention des différents nombres de « Pile » possibles afin de pouvoir les comparer.
• Pour cela on utilise (sous Xcas) une variable de type liste qui permet de lister les fréquences d’obtention de k « Pile » avec k variant de 0 à 25.
• Les réponses précédentes semblent-t-elles se confirmer ?
• Commenter la répartition des fréquences obtenues.

Etape 3 : on change le nombre de lancers

•  Dans le programme « lancers » modifier le nombre de lancers et modifier en conséquence le programme « repete_lancers » ; observer la répartition des fréquences.
• Commenter.

 Etape 4 : on utilise une pièce truquée

• Modifier le programme « lancers » de manière à simuler le lancer d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile » ; observer la répartition des fréquences.
• Commenter.

Etape 5 : cas général

Le programme correspondant est fourni aux élèves.

• Que fait ce programme?
• Utiliser cette session pour visualiser :
  • la répartition des fréquences lors de 25 lancers d’une pièce bien équilibrée ;
  • la répartition des fréquences lors de 25 lancers d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile » ;
  • la répartition des fréquences lors de 100 lancers d’une pièce bien équilibrée ;   
  • la répartition des fréquences lors de 100 lancers d’une pièce truquée qui n’a qu’une chance sur quatre de tomber sur « Pile ».
     

 Etape 6 : d'autres situations

Avec un dé cubique

On lance plusieurs fois un dé cubique équilibré.
Peut-on utiliser la session précédente pour conjecturer la probabilité d’obtenir 10 fois le 6 lors de 50 lancers ?

Une chenille processionnaire

D'après G. Frugier - Les probabilités sans les boules

 Une chenille processionnaire descend le long d’un grillage. À chaque épissure, elle prend la maille de droite une fois sur trois, celle de gauche deux fois sur trois. Elle descend ainsi quatre niveaux.

• Quelle est la probabilité que la chenille ait pris trois fois la maille de droite sur les quatre niveaux ?
• Quelle est la probabilité que la chenille ait pris trois fois la maille de gauche sur les quatre niveaux ?

Et ensuite...

• À partir de l’exemple de la chenille, construction d’un arbre afin de calculer les probabilités et mise en place des coefficients comme nombres de chemins.
• Institutionnalisation de la loi binomiale.
• Utilisation d’un outil TICE pour calculer les probabilités.
• Comparaison avec les résultats de simulation

En 1637 le mathématicien Pierre de Fermat énonce, en marge de son exemplaire de l’Arithmétique de Diophante, une propriété et qu’il a trouvé une « merveilleuse démonstration … mais n’en donne pas les termes ». Durant presque 350 ans la recherche de celle-ci a passionné le monde des mathématiciens, l’écho en parvenant même aux oreilles de nombreux profanes. Résolu en 1994 par l’anglais Andrew Wiles, l’affaire garde une part de mystère, Fermat ne possédant pas à son époque les outils mathématiques avancés et très complexes utilisés par Wiles. Ces faits s’étendent déjà sur un temps long mais cette lente construction intellectuelle sur la théorie des nombres remonte en fait bien plus loin : à Pythagore de Samos et sans doute aux Babyloniens il y a presque 4000 ans.

Il y a donc là une opportunité de rapprocher les disciplines et faire percevoir aux élèves l’intérêt des apports croisés. Ce travail a été mené dans le cadre de l'accompagnement personnalisé de Seconde.
 

Les élèves, qui disposent entre autres d'un espace collaboratif pour travailler en groupe et consulter les documents mis à disposition par les enseignants, doivent rendre un rapport qui devra comprendre :

• l'identification des personnages rencontrés et la rédaction d'une fiche biographique sur ceux-ci ;
• la création d'une carte qui situe les lieux de vie ou d'activité de ceux-ci et la circulation de leurs idées, en rapport avec une frise chronologique qui situe les personnages dans les grandes périodes de l'histoire et permet de déterminer les échelles de temps mises en jeu ;
• un contenu mathématique prouvant la maîtrise des notions et des techniques rencontrées.

Accéder à la présentation complète du projet sur le site de l'académie d'Aix-Marseille

Au coucher du soleil,

"Soudain, se dresse devant moi l'inimaginable ! Je n'en crois pas mes yeux. En pleine mer, une montagne non identifiée se découpe en ombre chinoise sur le disque solaire..."

L'objectif de ce travail est de déterminer de quelle montagne il s'agit, puis d'expliquer le phénomène.

Les élèves disposent pour accompagner ce travail de deux livres numériques interactifs développés sur Didapage par les enseignants.

Accéder sur le site de l'académie d'Aix-Marseille :

- au descriptif du projet

- au livre "Singularité sur l'horizon"

- au "Livre des indices"