Présentation du dossier « Jeux sur les nombres »

Le double objectif fondamental des classes-relais, (re)socialisation et (ré)investissement des apprentissages disciplinaires, pose de manière exemplaire la nécessaire
articulation entre :

• la prise en compte des particularités des élèves accueillis ;
• les indispensables interrogations portant sur les contenus et les modalités de mise en œuvre des savoirs disciplinaires.

Le choix de thèmes pour des dossiers en mathématiques se pose donc de façon aiguë. « Aire et périmètre » a fait l'objet d'un premier dossier parce que ce thème constitue un noyau dur des savoirs mathématiques à acquérir au collège et parce qu'il est particulièrement adapté à la mise en place d'une pédagogie différenciée permettant de mobiliser l'ensemble des élèves, quel que soit leur niveau de compétence. Ce sont les mêmes principes qui ont conduits le groupe à choisir le thème « Nombres et calcul » pour ce deuxième dossier.

Dans son introduction au rapport d'étape sur le calcul, la commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques donne les deux premières raisons d'un tel rapport : « La première est que le calcul est omniprésent dans les pratiques mathématiques, qu'il en est une composante essentielle à tous les niveaux, inséparable des raisonnements qui le guident ou qu'en sens inverse il outille mais que l'image qu'en véhiculent la culture et l'enseignement est profondément inadaptée, ceci ayant des effets négatifs sur l'image même des mathématiques.

La seconde est que, dans la période récente, le développement des technologies informatiques a profondément modifié les pratiques associées au calcul, tant les pratiques quotidiennes et sociales que les pratiques scientifiques. La plupart des algorithmes de calcul dont l'apprentissage occupait un temps important de la scolarité, notamment dans l'enseignement obligatoire, sont aujourd'hui implantés dans les calculatrices les plus simples [...] »

Les élèves qui arrivent dans des classes ou des dispositifs relais peuvent, comme nombre d'élèves arrivant au collège, avoir des difficultés à exécuter les algorithmes de calcul
élémentaires mis en place à l'école primaire et complétés dans les premières classes du collège (addition, soustraction, multiplication, division). Mais les erreurs de calcul peuvent aussi être dues à une mauvaise connaissance de résultats élémentaires issus des tables d'addition et de multiplication ainsi que des relations entre certains nombres usuels. Ces élèves ont cependant des savoirs et, il ne serait pas souhaitable de reprendre toutes les étapes de construction des connaissances visées. Par ailleurs, comme cela a déjà été dit dans l'introduction du dossier « Aire et périmètre », certaines activités visant la construction de savoirs dans le cadre d'un apprentissage initial peuvent permettre des prises de conscience et des réorganisations des connaissances propres à une pédagogie des apprentissages « tardifs ».

Dans ce dossier, nous avons donc choisi de proposer des activités dans trois directions :

• jeux de calcul : c'est un détour pédagogique qui permet une dialectique entre automatisation des calculs (dans la mise en œuvre des techniques opératoires et des
  enchaînements des opérations), connaissances de résultats par cœur (par la mise en pratique, en situation, des tables d'addition et de multiplication) et calcul raisonné, (par la mise en œuvre de stratégies de calcul). Cependant, sauf si le professeur a un objectif précis d'apprentissage, un jeu ne devrait pas être l'unique ressort d'une séquence de
  travail avec les élèves. Il convient de choisir le moment où tel jeu sera proposé aux élèves.
• calculettes, calculatrice, calculatrice symbolique : la représentation informatique des nombres, leur affichage et l'implantation d'algorithmes dans les machines posent des
  questions nouvelles. Dans ce dossier, après une introduction générale, c'est la partie « calculettes » que nous développons.
• nombres rationnels et nombres décimaux : « L'extension du champ du calcul des naturels aux décimaux et rationnels constitue le premier cas d'enrichissement des objets du calcul que rencontre l'élève au cours de sa scolarité. Il pose des difficultés incontournables car, comme tout enrichissement, il nécessite une reconstruction des rapports au calcul. [...] ». Ces quelques lignes extraites du rapport d'étape sur le calcul de la commission de réflexion sur l'enseignement des mathématiques justifieraient à elles seules que dans ce dossier nous proposions des scénarios qui permettent de réactiver et de réorganiser certaines connaissances dans le champ de ces nombres.

Certaines des activités proposées jouent aussi sur la socialisation des élèves. Des indications peuvent être données dans ce dossier, mais il appartient aux professeurs de choisir
les scénarios de mise en œuvre. En effet, des modalités de travail différentes sur un même support entraînent des activités intellectuelles différentes chez les élèves.

Par ailleurs, des activités visant la construction de savoirs dans le cadre d'un apprentissage initial (dans les manuels scolaires, par exemple) peuvent aussi permettre des
prises de conscience et des réorganisations des connaissances pour ces élèves de classes ou de dispositifs relais et compléter les propositions qui figurent dans ce dossier.
Jacqueline.Penninckx, IPR de mathématiques